Wednesday, 12/05/2021 - 22:32|
Chào mừng bạn đến với cổng thông tin điện tử của Trường THCS Xuân Phú

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

 

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG 7

Chuyên đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính.

Chuyên đề 2: Dãy số tự nhiên, phân số viết theo quy luật.

Chuyên đề 3: Các bài toán về số thập phân, số thực, căn bậc hai.

Chuyên đề 4: Tỉ lệ thức – Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau – Bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.

Chuyên đề 5: Gía trị tuyệt đối.

Chuyên đề 6. Gía trị nguyên của biến, giá trị biểu thức.

 

 

CÁC CHUYỀN ĐỀ

Buổi 1: Chuyền đề 1:  Các bài toán thực hiện phép tính:

  1. Các kiến thức vận dụng:
    • Tính chất của phép cộng , phép nhân
    •  Các phép toán về lũy thừa:

an =  ;    am.an = am+n ;     am : an = am –n ( a 0, mn)

(am)n = am.n ;    ( a.b)n = an .bn   ;

2 .Một số bài toán:

Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +….   +  n , 1+ 3 + 5 +….   + (2n -1)

            b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1)

                                    1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 +  ….+ n(n+1)(n+2)

               Với n là số tự nhiên khác không.

HD :  a) 1+2 + 3 +  .. ..+ n = n(n+1)

                1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2

           b)  1.2+2.3+3.4+   …+ n(n+1)

            = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3

            = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : 3

            = n(n+ 1)(n+2) :3

               1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)

    = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4

    = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4

Tổng quát:

Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an

           b) Tính tổng : A =  với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k

       HD: a) S = 1+ a + a2 +…..+ an aS = a + a2 +…..+ an + an+1

                Ta có : aS – S = an+1 – 1  ( a – 1) S = an+1 – 1

             Nếu a = 1  S = n

             Nếu a khác 1 , suy ra S =

  1. Áp dụng  với b – a = k

Ta có : A =

                =

                =

Bài 3 :  a) Tính tổng : 12 + 22  + 32  + ….+ n2

b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3

HD : a) 12 + 22  + 32 + ….+ n2  = n(n+1)(2n+1): 6

               b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2

Bài 3:  Thực hiện phép tính:

         a) A = 

         b)

HD : A =  ; B =

Bài 4:     1, Tính:    P =

    2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 

Tính:     S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203

Bài 5: a) TÝnh

b) Cho

Chøng minh r»ng .

Bài 6:   a) Tính :

    b) TÝnh

HD:  Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….

 =

c)

 

Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức:

          b) Chứng tỏ rằng:

 

 

Bài 8:   a) Tính giá trị của biểu thức:

b) Chứng minh rằng tổng:

 

Buổi 2: Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

  1. Kiến thức vận dụng :

 -

 -Nếu  thì  với gt các tỉ số dều có nghĩa

- Có = k Thì a = bk, c = d k, e = fk

2. Bài tập vận dụng

 Dạng 1   Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức

Bài 1:    Cho . Chứng minh rằng:

 HD:    Từ  suy ra                                  

              khi đó

                              =

Bài 2:  Cho a,b,c   R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:

 = 

HD: Ta có   (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac

= a( a + 2.2012.b + 20122.c)

                    (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2

                               = c( a + 2.2012.b + 20122.c)

Suy ra : = 

Bài 3:Chøng minh r»ng nÕu  th×

HD : Đặt a = kb, c = kd .

Suy ra :  và 

           Vậy

Bài 4:            BiÕt  với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng :

 hoặc

HD :  Ta có  = (1)

= (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

Xét 2 TH đi đến đpcm

Bài 5 :Cho tØ lÖ thøc  . Chøng minh r»ng:

    vµ    

HD : Xuất phát từ  biến đổi theo các

hướng làm xuất hiện

Bài 6 :Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Tính

HD : Từ

       Suy ra :

Nếu a + b + c + d = 0  a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)

 = -4

Nếu a + b + c + d 0  a = b = c = d  = 4

Bài 7 : a) Chứng minh rằng:

Nếu

Thì 

         b) Cho:     .  Chứng minh: 

HD : a) Từ

 (1)

  (2)

 (3)

Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :

Bài 8:   Cho

chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.

HD  Từ

Nếu  x + y + z + t = 0 thì  P = - 4

Nếu  x + y + z + t  0 thì x = y = z = t  P = 4

Bài 9 :Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :

                            Hãy tính giá trị của biểu thức :   B =

Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính

                  T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011

            Biết x,y,z,t thỏa mãn:  

 

              b)  Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:

            M = a + b = c +d = e + f

    Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* ;;

  1. Cho 3 số a, b, c thỏa mãn : .

 Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2

 

Một số bài tương tự

    Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

TÝnh

Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện : 

( n là số tự nhiên)

và  x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t

 

Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để  tìm x,y,z,…

Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết :

HD :Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 

=> với y = 0 thay vào không thỏa mãn

Nếu y khác 0

 => -x = 5x -12

=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:

 =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y  => y =

Vậy x = 2, y =  thoả mãn đề bài

Bài 3 : Cho  và a + b + c ≠ 0; a = 2012.

Tính b, c.

HD : từ  a = b = c = 2012

Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết :          

HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

 (vì x+y+z 0)

Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z

Bài 5 : Tìm x, biết rằng:

HD : Từ

               Suy ra :

Bài 6: T×m x, y, z biÕt:    (x, y, z )

HD : Từ

     Từ x + y + z =  x + y = - z , y +z = - x , z + x =  - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x.

Bài 7 : T×m x, y, z biÕt  vµ

Bài 8 : Tìm x , y biết :

 

Buổi 3: Chuyên đề 3:  Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y

  1. Kiến thức vận dụng :
    • Tính chất phép toán cộng, nhân số thực
    • Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
    • Tính chất về giá trị tuyệt đối : với mọi A ;
    • Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

 dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0;  dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

 ;  với m > 0

    • Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n0 với mọi A

Am = An m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)

 0< A < B  An<Bn ;

  1. Bài tập vận dụng

          Dạng 1:  Các bài toán cơ bản

Bài 1:  Tìm x biết

             a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013

b)

HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013

x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013

      b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4

        Từ

Bài 2  Tìm x nguyên biết

     a)

     b) 1- 3 + 32 – 33 + ….+ (-3)x  =

Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối

    • Dạng : và

     Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)

Bài 1 : Tìm x biết :

         a)        b)

HD : a)  (1) do VT =

            nên VP = x – 2012 (*)

Từ (1)

                                Kết hợp (*)  x = 4023:2

             b)  (1)

    Nếu x  2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)

    Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x  = 2012 hay 1 = 2012 (loại)

Nếu  x từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy)

Vậy giá trị x là : 2009 :2  hoặc 6033:2

                              Một số bài tương tự:

   Bài 2 : a) T×m x biÕt

  1. T×m x biÕt:
  2. T×m x biÕt:

Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó:

  1. Tìm x biết:

Bài 4 : tìm x biết :

            a)           b)

 

Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối

   Bài 1 : a)  Tìm x ngyên biết :

b) Tìm x biết :

HD : a) ta có (1)

 suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=”

Hay  do x nguyên nên x {3;4;5}

        b) ta có  (*)

 Mà  nên (*) xẩy ra dấu “=”

Suy ra:

                      Các bài tương tự

 Bài 2 : Tìm x nguyên biết :

Bài 3 : Tìm x biết

Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n:  =  3

 Bài 5 : Tìm x, y biết :

HD : ta có với mọi x,y và    với mọi x

           Suy ra : với mọi x,y mà

Bài 6 :    T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.

 

Dạng  chứa lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 1:  Tìm số tự nhiên x, biết :

          a)  5x + 5x+2 = 650                              b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162

HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650  5x = 25 x = 2

  1. 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162   3x – 1 = 27  x = 4

Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:

a) 2x + 1 . 3y = 12x                             b) 10x : 5y = 20y

HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x

    Nhận thấy : ( 2, 3) = 1  x – 1 = y-x = 0  x = y = 1

          b) 10x : 5y = 20y 10x = 102y   x = 2y

Bài 3 :Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :

            a) 2m  + 2n = 2m+n                              b) 2m – 2n = 256

HD: a) 2m  + 2n = 2m+n 2m + n – 2m – 2n  = 0  2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1

 (2m -1)(2n – 1) = 1

         b) 2m – 2n = 256   2n( 2m – n  - 1) = 28

Dễ thấy m n, ta  xét 2 trường hợp :

   + Nếu m – n = 1  n = 8 , m = 9

    + Nếu m – n  2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9

Bài 4 :Tìm x , biết :

HD :

Bài 5 :Tìm x, y biết :

HD : ta có  với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y

     Suy ra : với mọi x,y . Mà

                Các bài tập tương tự :

Bài 6 : Tìm x, y biết :

a)                  b)

 

 

 

 

 

 

Buổi 4: Chuyên đề 4:  Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức.

1 . Các kiến thức vận dụng:

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

       - Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương

       - Tính chất chia hết của một tổng , một tích

       - ƯCLN, BCNN của các số

2. Bài tập vận dụng :

                  * Tìm x,y dưới dạng  tìm nghiệm của đa thức

Bài 1: a)  Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

           b) Tìm số tự nhiên x, y biết:

           c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6

 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1

HD: a) Từ 51x + 26y = 2000  17.3.x = 2.( 1000 – 13 y)  do 3,17 là số NT nên x  mà x NT x = 2. Lại có 1000 – 13y  , 1000 – 13y > 0 và y NT   y =

 

    b) Từ (1)

 do 7(x–2004)20

Mặt khác 7 là số NT  vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)

 suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4

  1. Ta có xy + 3x - y = 6 ( x – 1)( y + 3) = 3 hoặc

hoặc hoặc

  1. x2-2y2=1

 do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra  x> 2 , mặt khác y nguyên tố

Bài 2       a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7 

                b)  Tìm biết:

HD : a) Từ  x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13

         b) Từ  y2 25 và 25 – y2  chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x

Bài 3    a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho:  

            b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :

 và

HD : a) Từ  5 ( x + y) = xy (*)

+ Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:

         5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y  . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có Ư(5) , từ đó tìm được y, x

       b)  a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà  a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1)

 Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5b – 1  - 1 không chia hết cho 5 do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1 a = 2 và b = 2

Bài 4:    T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n:

HD :

Do p nguyên tố nên  và 2013 – q2> 0 từ đó tìm được q

Bài 5 :  T ìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:   chia hết cho 7

HD : Với n < 3 thì 2n  không chia hết cho 7

              Với n  khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( )

       Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A

       Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không chia hết cho 7

       Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không chia hết cho 7 . Vậy n = 3k với

* Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết:

Bài 1       T×m sè nguyªn m ®Ó:

a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1.

b)

HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1  không chia hết cho 2m +1

              Nếu m < -2  thì , suy ra m -1  không chia hết cho 2m +1

         Vậy m { -2; -1; 0; 1}

             Cách 2 : Để

        b)  - 3 < 3m – 1 < 3  vì m nguyên

Bài 2    a) T×m x nguyªn ®Ó  6 chia hÕt cho 2

  b)  T×m  ®Ó AÎ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.

                  A =  . HD: A =  =

Bài 3:  Tìm x nguyên để

                HD :  =

                   để x là số CP.

              Với x >1 và x là số CP thì  suy ra 2009 không chia hết cho

              Với x = 1 thay vào không thỏa mãn

 

Buổi 5: Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1.Các kiến thức vận dụng :

        *  a2  + 2.ab + b2  = ( a + b)2 0 với mọi a,b

        * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b

         *A2n 0 với mọi A, - A2n 0  với mọi A

         *  ,

         *  dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

         * dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0

  2. Bài tập vận dụng:

            * Dạng vận dụng đẳng thức : a2  + 2.ab + b2  = ( a + b)2 0 với mọi a,b

        Và  a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

        a)   P(x) = 2x2 – 4x + 2012

        b) Q(x) = x2 + 100x – 1000

HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010

     Do ( x - 1)2 0 với mọi x , nên P(x)  2010 . Vậy Min P(x) = 2010

khi ( x - 1)2 = 0 hay x = 1

         b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500  - 3500 với mọi x

Vậy Min Q(x) = -3500

 Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0)

HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x. + ) + ( c - )

               = a(  Vậy Min P(x) =  khi x =

Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

  1. A = - a2 + 3a + 4
  2. B = 2 x – x2

HD : a) A =  - a2 + 3a + 4 =

       Do  nên A  . Vậy Max A =  khi a =

  1. B =  . Do

        Vậy Max B = 1 khi x = 1

Bài 3 :  Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

            a) P =                                b) Q =

              * Dạng vận dụng  A2n 0 với mọi A, - A2n 0  với mọi A

Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :

a)    P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012

         b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012

HD : a) do  và  suy ra : P  với mọi x,y

 Min P = 0 khi

        b) Ta có  và  suy ra : Q  2012  với mọi x,y

 Min Q = 2012  khi

Bài 3 : Tìm GTLN của   R =

Bài 4  :Cho phân số:               (x Î Z)

a) Tìm x Î Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.

b) Tìm x Î Z để C là số tự nhiên.

 

HD :

  C lớn nhất khi  lớn nhất  nhỏ nhất và

Vậy Max C =  khi x = 2

Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè  cã gi¸ trÞ lín nhÊt

HD : Ta có

      Để  lớn nhất thì  lớn nhất  và 14n – 21 có giá trị nhỏ nhất  và n nhỏ nhất  n = 2

             * Dạng vận dụng ,

 dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0

Bài 1:       Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

  1. A = ( x – 2)2 +  + 3
  2. B =

HD: a)  ta có  với mọi x và  với mọi x,y  A  3 với mọi x,y

     Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi

  1. Ta có  với mọi x  2012  với mọi x

 với mọi x, suy ra Min B =  khi x = 2010

Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

             a)

             b)

             c) C =

HD : a) Ta có =

với mọi x    với x . Vậy Min A = 1 Khi

         b) ta có

       Do  với mọi x (1)

            Và với mọi x (2)

       Suy ra  B  . Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2) xẩy ra dấu “=” hay

  1. Ta có

 = 

 = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500

Suy ra C  với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi 

 

 

Buổi 6: Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết

              1.Kiến thức vận dụng

         * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

         * Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n

         * Tính chất chia hết của một tổng

              2. Bài tập vận dụng:

            Bài 1 :Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 

chia hết cho 10

  HD:  ta có =

                                           =

                                           =

                                           = 10( 3n -2n)

Vậy  10 với mọi n là số nguyên dương.

 

Bài 2 :Chứng tỏ rằng:

A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25  là số chia hết cho 100

HD: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25

            = 25( 42005 – 1 + 1) = 25. 42005  chia hết cho 100

 

Bài 3 :            Cho m, n  N* và  p là số nguyên tố thoả mãn:  = (1)

         Chứng minh rằng : p2 = n + 2

HD : + Nếu m + n chia hết cho p  do p là số nguyên tố và m, n  N*

 m = 2 hoặc m = p +1  khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2

              + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)  (m + n)(m – 1) = p2

Do p là số nguyên tố và m, n  N* m – 1 = p2 và m + n =1

m = p2 +1 và n = - p2< 0 (loại)

Vậy    p2 = n + 2

 

Bài 4:a) Sè   cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?

              b)  Chøng minh r»ng:    chia hÕt cho 7

HD: a) Ta có 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không)

                       4 = 3.1 + 1

             Suy ra : = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không chia hết cho 9

  1. Ta có 3638 = (362)19 = 129619  = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k  N*)

                4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q N*)

       Suy ra : = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q)

Bài 5 :

  1. Chứng minh rằng:   chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương
  2. Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c   17  nếu  a - 11b + 3c   17  (a, b, c Î Z)

Bài 6 : a) Chứng minh rằng:    (a, b Î Z )

  b) Cho đa thức  (a, b, c nguyên).

     CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

HD  a)  ta có 17a – 34 b  và 3a + 2b

 vì (2, 7) = 1

  1. Ta có f(0) = c  do f(0)

f(1) -  f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) =  2b , do f(1) và f(-1) chia hết cho 3  vì ( 2, 3) = 1

f(1)  do b và c chia hết cho 3

             Vậy a, b, c đều chia hết cho 3

Bài 7 :   a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên

b) Cho  lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh  lµ hîp sè

HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1  (1) .Do 4n- 1 chia hêt cho 3 và lµ sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hp s

 

 

 

Buổi 7: Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức

1.Kiến thức vận dụng

* Kỹ thuật làm trội : Nếu a1< a2< a3<…. <an  thì n a1< a1 + a2 + …+ an< nan

 * a(a – 1) < a2< a( a+1)

 * a2  + 2.ab + b2  = ( a + b)2 0 ,  * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b

    2.Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho a, b, c >0 . Chứng tỏ rằng:  không là số nguyên.

HD : Ta có 

Mặt khác

 = 3 – N  Do N >1 nên M < 2

Vậy  1< M < 2 nên M không là số nguyên

Bài 2   Chứng minh rằng : (1)  ,    (2) với a, b, c

HD :(*)

Do  (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng

Bài 3 : Với a, b, c là các số dương .Chứng minh rằng

           a)  (1)           b)  (2)

HD : a) Cách 1 : Từ (*)

                          Do (*) đúng suy ra (1) đúng

        Cách 2: Ta có  và

                  Dấu “ =” xẩy ra khi a = b

  1. Ta có :

Lại có

        Suy ra  Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b = c

Bài 4  :     a) Cho z, y, z là các số dương.

        Chứng minh rằng: 

b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: .

HD : b)  Tính ( a + b + c)2 từ cm được

 

Buổi 8: Chuyên đề 8 :Các bài toán về đa thức một ẩn

 Bài 1 :Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0)

                 Biết P(1) = 100   , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3)

HD : ta có P(1) = 100  a + b + c + d  =  100

P(-1) = 50  - a + b – c + d = 50

P( 0) = 1  d = 1

P(2) = 8a + 4b + c + d = 120

            Từ đó tìm được c, d, và a và XĐ được P(x)

Bài 2 :     Cho  với a, b, c là các số hữu tỉ.

                        Chứng tỏ rằng: . Biết rằng

HD : f( -2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c  f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c)

         Nhận thấy  ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0

( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)

  Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 0

Bài 3     Cho đa thức  với a, b, c là các số thực.  Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.

HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c

Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên  c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên

 a + b và  4a + 2b  = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên  2a , 2b nguyên

Bài 4     Chứng minh rằng: f(x) có giá trị nguyên với mọi  x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên

HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d

    Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x d ,   a + b + c + d, 8a +4b + c + d  là các số nguyên  . Do d nguyên  a + b + c  nguyên và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên  2b nguyên   6a nguyên . Chiều ngược lại cm tương tự.

Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) =

HD : Giả sử  A( x) = ao + a1x + a2x2 + …..+ a4018x4018

           Khi đó A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018

   do A(1) = 0  nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = 0

Bài 6 :Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:

HD : Đặt A =

 tại x = 2012 thì A = 2011

 

Buổi 9: Chuyên đề  9  Các bài toán thực tế

    1. Kiến thức vận dụng
  • Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận :

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :

y = k.x   ( k là hệ số tỉ lệ )

 -  Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch :

               Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi :

                   x.y = a  ( a là hệ số tỉ lệ )

 - Tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

                          2. Bài tập vận dụng

          *Phương pháp giải :

  • Đọc kỹ đề bài , từ đó xác định các đại lượng trong bài toán
  •  Chỉ ra các đại lượng đã biết , đại lượng cần tìm
  • Chỉ rõ mối quan hệ giữa các đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)
  • Áp dụng tính chất về đại lượng tỉ lệ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải

   Bài 1 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây

Bài 2 :  Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau.

Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.

Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.

 Bài 4 : Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là  2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là    3: 4.

Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ?

Bài 5 :Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày.  Biêt đội ІІ nhiều hơn đội  ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ?

Bài 6 : Ba ô tô cùng khởi hành đi từ A về phía B . Vận tốc ô tô thứ nhất kém ô tô thứ hai là 3 Km/h . Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quãng đường AB lần lượt là : 40 phút,  giờ ,  giờ . Tính vận tốc mỗi ô tô ?

  1.  

Buổi 10: Chuyên đề 10: Một số phương pháp chứng minh hình hoc

1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

 P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó

                       - Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân

                       -  Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng

                       - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng

2.Chứng minh hai góc bằng nhau:

P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó

- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân

- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong ,đồng vị 

- Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác

3. Chứng minh ba điểm  thẳng hàng:

P2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau)

- Hai đường thẳng cùng vuông góc với  đường thẳng thứ 3 tại một điểm

- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3

- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao

4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

P2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo

- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc

                  -  Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao

5 .Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )

P2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác

6. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc:

P2 : -  Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác

  • Dựa vào định lí  về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên và đường vuông góc .
  1. Bài tập vận dụng

        Bài 1 :  Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.  Chứng minh: DC = BE và DC BE

HD:      Phân tích tìm hướng giải                                                                 

*Để CM  DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) 

Có : AB = AD, AC = AE (gt)

 Cần CM :

Có :

* Gọi I là giao điểm của AB và CD

Để CM : DC BE cần CM 

    Có ( Hai góc đối đỉnh) và

 Cần CM  ( vì ∆ABE = ∆ ADC)

 Lời giải

a) Ta có  , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt)

  Suy ra  ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c)  DC = BE

b) Gọi I là giao điểm của AB và CD

  Ta có ( Hai góc đối đỉnh) , ( ∆ ADI vuông tại A) và  ( vì ∆ABE = ∆ ADC)  DC BC

*Khai thác bài 1:

Từ bài 1 ta thấy : DC = BE vµ DC BE khi  ∆ABD và ∆ ACE vuông cân, vậy nếu có ∆ABD và ∆ ACE vuông cân  , Từ B kẻ BK CD tại D thì ba điểm E, K, B thẳng hàng

          Ta có bài toán 1.2

Bài 1. 1:  Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Từ B kẻ BK CD tại K

Chứng minh rằng  ba điểm E, K, B thẳng hàng

HD : Từ bài 1 chứng minh được DC BE mà BK CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng

*Khai thác bài 1.1

Từ bài 1.1 nếu  gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thì MA BC từ đó ta có bài toán 1.2

Bài 1.2: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A .Chứng minh rằng : MA BC

Phân tích tìm hướng giải

HD:  Gọi H là giao điểm của  tia MA và BC

  Để CM   MA BC  ta cần CM   ∆AHC vuông tại H

Để  CM   ∆AHC vuông tại H ta cần tạo ra 1 tam giác

vuông  bằng   ∆AHC

  Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN

Kẻ DQ  AM tại Q

 Cần CM  ∆AHC =  ∆DQN (g.c.g)

  CM: ND = AC , ,

CM  :  ∆ABC =  ∆DNA ( c.g.c)

     Có AD = AB (gt)                                

Cần CM : ND = AE ( = AC) và

    + Để CM    ND = AE

CM : ∆MDN =  ∆MEA (c.g.c)

    + Để CM    

 vì

      CM               AE // DN (∆MDN =  ∆MEA)

 

Lời giải

Gọi H là giao điểm của  tia MA và BC , Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN

kẻ DQ  AM tại Q

    Ta có ∆MDN =  ∆MEA ( c.g.c) vì :

AM = MN  ; MD = ME (gt) và ( hai góc đối đỉnh)

 DN = AE ( = AC) và AE // DN vì  ( cặp góc so le trong )

( cặp góc trong cùng phía) mà

   Xét ∆ABC và  ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN  và  ( chứng minh trên )   ∆ABC =  ∆DNA  (c.g.c)

  Xét ∆AHC và  ∆DQN có : AC = DN ,  và

 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)   ∆AHC vuông tại H hay MA BC

* Khai thác bài toán 1.3

+ Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MABC   , ngược lại

nếu AH BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài toán 1.4

 

Bài 1.3 :Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gi H là chân đường vuông góc k t A đến BC . Chng minh rng  tia HA đi qua trung đim ca đon thng DE

HD : Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau:       

Kẻ DQ  AM tại Q, ERAM tại R  .

        Ta có : +  ( Cùng phụ )

 AD = AB (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)

 DQ = AH (1)

                +( cùng phụ )

AC = AE (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)

ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2)  ER = DQ

Lại có ( hai góc đối đỉnh )

 ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung

điểm của DE

 + Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MADE   , ngược lại

nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vuông góc với DE, ta có bài toán 1.4

Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H trung điểm của BC .

    Chứng minh rằng  tia HA vuông góc với DE

HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4

        Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho  AH = HA’

  Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)

 A’B = AC ( = AE) và

 AC // A’B ( cặp góc trong cùng phía)

Xét  ∆DAE và ∆ABA’ có :  AE = A’B , AD = AB (gt)

∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)

 mà

Suy ra  HA vuông góc với DE

 

Bài 2 :Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.

         c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC

* Phân tích tìm lời giải

    a)  Để cm     DM = EN                              

Cm  ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)

Có  BD = CE (gt) ,  ( MD, NEBC)

( ∆ABC cân tại A)

  1. Để  Cm Đường thẳng BC cắt MN tại trung

 điểm I của MN  Cần cm IM = IN

                            Cm      ∆MDI = ∆NEI  ( g.c.g)

  1. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I  Cần cm  O là điểm cố định

                            Để cm O là điểm cố định

                      Cần cm    OC  AC

                       Cần cm  

                      Cần cm : và

             Cần cm  ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c)  và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)

                 *Khai thác bài 2

  Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta có thể phát biểu lại bài toán như sau:

       Bài 2.1      Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M, trªn tia AC  lÊy ®iÓm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I .

                        Chøng minh r»ng:

a) I là trung điểm của MN

           b) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay đổi

lời giải:

Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MDBC ( DBC)

 NE  BC ( EBC)  

 

          Bài 3 :Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE .

  1. Chứng minh rằng :  AI  BC
  2.  Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? vì sao? 

*Phân tích tìm lời giải      

a)  Gọi H là giao điểm của BC và AI

           Để cm AI  BC  Cần cm

        Để cm

          Có

   cần cm  và 

      Cần cm   ∆AIE cân tại I  và ∆AKC cân tại K

b)  Để so sánh  DE với BC 

 cần so sánh  IE với CK  (  vì 2.IE = DE, 2CK = BC)

    So sánh AI  với AK ( vì AI = IE, AK = CK)

                  Có AI  AK

Lời giải :

a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I  và ∆AKC cân tại K     cần cm  và   mà  AI  BC

b)  ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE)

           Mà AI  AK  , DE = BC khi K trùng với I  khi đó  ∆ABC vuông  cân tại A

     Bài 4:Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

                  a) 

                       b)  .

                       c)   BE = CF

lơì giải

Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có:

     HF2 + AH2 = AF2

AHE = AHF (g-c-g) nên HF = EF; AF = AE

Suy ra:

 Suy ra

XÐt  lµ gãc ngoµi suy ra 

 cã    lµ gãc ngoµi suy ra

vËy

          hay    (®pcm).   

Từ  Suy ra AE = AF và 

Từ C vẽ CD // AB ( D EF )             =>

 Lại có:   (cặp góc đồng vị)  Do đó cânCF = CD ( 2)

Từ  (1) và (2) suy ra  BE = CF

 

Bài 5 :  Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia

          AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. 

              a) Chứng minh rằng : BE = CD.

              b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng.

              c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần  lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK  BC.

              d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.

 

*Phân tích tìm lời giải

 

  1.        Để cm  BE =  CD

        Cần cm ABE = ADC (c.g.c)

 

 

  1. Để cm M, A, N thẳng hàng.

    Cần cm 

 Cần cm

          Để cm     

          Cần cm ABM = ADN (c.g.c)

  1.        Gọi là giao điểm của BC và Ax

   Để cm BH + CK  BC

             Cần cm

                        Vì BI + IC = BC

  1. BH + CK có giá trị lớn nhất = BC

    khi đó K,H  trùng với I , do đó Ax vuông góc  với BC

 

Bài 6     Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).

a) Chứng minh: EM + HC = NH.

       b) Chứng minh: EN // FM.

 

*Phân tích tìm lời giải

a)      Để cm EM + HC = NH

        Cần cm EM = AH  và HC = AN

 + Để cm EM = AH  cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon)

 +  Để cm HC = AN  cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon)                                                                                          

b)                Để cm  EN // FM

( cặp góc so le trong)

Gọi I là giao điểm của AN và EF

 để cm   

                       Cần cm   ∆MEI  = ∆NFI ( g.c.g) 

 

    Bài 7  :Cho tam  ABC  vuông  tại A , đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E.  Chứng minh:  AE = BC

*Phân tích tìm lời giải

                      Gọi F là giao điểm của BA và IE

 để Cm         AE = BC     cần cm : ∆AFE = ∆ CAB

Để  cm :     ∆AFE = ∆ CAB

Cần cm AF = AC (2);  (1);   (3)

+ Để cm  (1) : 

        Cm   CI // AE  vì có FI // AC và

  Để Cm     CI // AE 

                    Cm      ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c)

             + Để cm  (2) :  AF = AC

                           Cm ∆AFI = ∆ ACI  (  Cạnh huyền – góc nhọn)

              +  Cm (3) : ( vì cùng phụ )

 

 *Khai thác bài toán :

  Từ bài 7 ta thấy AH    AM  HE  AM + BC = 3AM ( vì AM = MB = MC)

  Vậy HE lớn nhất = 3AM = BC  khi H trùng M  khi đó tam giác ABC vuông cân

       Bài 8  Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:

          a) AE = AF

b) BE = CF

c)

 

* Phân tích tìm lời giải

 

a)   Để cm     AE = AF

               ∆ANE  = ∆ ANF ( c. g . c)

Hoặc ∆AEF cân tại A

( Có AH vừa là tia phân giác , vừa là đương cao)

b)   Để cm    BE = CF

 cần tạo tam giác chứa BE( hoặc có 1 cạnh = BE)  mà bằng tam giác MCF

      + Kẻ BI // AC  ∆MBI  = ∆CMF( c. g . c)

    Để cm    BE = CF    ∆ BEI cân tại B  Có ( cặp góc đồng vị ) mà  vì ∆AEF cân tại A

  1. AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF  mà CF = BC và AE = AF

    2 AE = AB + AC hay  

Bài 9      Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt  là giao điểm của DE với AB và AC.

  1. Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A
  2. Tính số đo các góc AIC và AKB ?

 

                   *Phân tich tìm hướng giải

- Xét TH góc A < 900

 a)  Để cm ∆ ADE cân tại A

 cần cm : AD = AH = AE

( Áp dụng t/c đường trung trực)

b) Dự đoán CI IB , BK  KC

Do IB,  KCtia phân giác góc ngoài của ∆ HIK

nên HA là tia phân giác trong. Do  nên HC

là tia phân giác ngoài đỉnh H . Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB IC , Chứng minh tượng tự

ta có BK  KC

      - Xét TH góc A>900

*Khai thác bài toán :

Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC ,  qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đó ta có   ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có

Từ đó ta có bài toán sau:

Bài 9.1  Cho tam giác ABC nhọn . Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất.

 

HD . Tự nhận xét bài 9 dễ dàng tìm được

vị trí điểm M trên cạnh BC.

  Bài 10.  Cho ∆ ABC với góc A không vuông và góc B khác 135o. Gọi M là trung điểm của BC. Về phía ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng minh rằng  Q là trung điểm của BP.

  HD. Trên tia đối của tia MQ lấy điểm H

sao cho MH = MQ

    - Cm   ∆ BMQ =  ∆ CMH ( c.g.c)

 BQ = CH (1) và

 BQ//CH hay PQ // CH ( vì là

cặp góc so le trong)

    - Nối PH , cm ∆ PQH =  ∆ HCP ( g.c.g)

 PQ = CH (2) , Do Q nằm giữa B và P dù góc B nhỏ hơn 1350

Từ (1) và (2)  Suy ra đpcm.

Bài 11.  Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB> AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuông góc  với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng :

         a)    BA = BH

         b)

c)  Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK

 

HD :  a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn)

 b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK , cắt EK tại I

 Ta có : , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) 

 mà    

       c)Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = ….. = 2.4 = 8 cm

* Từ bài  ta thấy khi  thì chu vi ∆DEK = 2. AB  vậy nếu có chu vi ∆DEK = 2 thì ta cũng cm được  .

 

Bài tin liên quan